Accoster les étoiles

Si vous avez joué un tant soit peu à l’excellent Star Realms de Robert Dougherty et Darwin Kastle vous êtes familiers des icônes suivantes   .

Dans ce jeu de dekcbuilding1 on attaque notre adversaire avec les points de combat (), ce qui lui fait perdre de l’influence (). Quant au commerce () il permet d’acheter de nouvelles cartes qui viendront enrichir notre deck de base. Le premier à mettre son adversaire à 0 remporte la partie.

Si vous n’avez pas encore joué à ce jeu, ni même à un deckbuilding, vous avez tout un pan du monde ludique à explorer. En guise d’entrée en matière Star Realms s’est imposé depuis sa sortie. Compact et pas trop compliqué avec une bonne rejouabilité.

Cet article s’intéresse plus particulièrement aux débuts de partie avec quelques calculs de dénombrement et de probabilité. Ce ne sont que des multiplications et des calculs de fractions mais ça se corse un peu plus que l’article précédent concernant Century.

Mains de départ

Quand débute une partie le premier joueur tire trois cartes parmi les dix de base (8 cartes 1 et 2 cartes 1).

En début de partie on va plutôt essayer de faire des achats intelligents et se donner les moyens d’acquérir quelques grosses cartes. Puis la bascule se fera entre commerce et attaque au point qu’on souhaitera même se débarrasser de certaines cartes dédiées à l’achat, si on le peut.

Mais avant ça quelles sont mes chances de débuter avec une main de 3 par exemple ?

On peut mener ce genre de calcul de plusieurs manières. On devrait trouver le même résultat quelque soit le raisonnement suivi. Il y a surtout une subtilité à laquelle on doit faire attention, celle de l’ordre dans lequel on pioche les cartes. Ce qui nous importe c’est la composition de la main de carte après les avoir pioché, pas l’ordre dans lequel on les a tiré.

On distinguera pour ça ce qu’on appelle un arrangement d’une combinaison.

Imaginons qu’on dispose de dix cartes marquées 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 et qu’on en tire trois au hasard.

Les tirages {1,2,3} ou {1,3,2} sont deux arrangements différents. L’ordre de tirage (de gauche à droite) a une importance. Par contre ils sont équivalents en terme de combinaison. Pas spécialement intuitif si on pense à la combinaison d’un coffre pour laquelle l’ordre importe justement. Tant pis pour l’intuition.

On évacue l’instant formule avec celle d’un arrangement de k objets pris parmi n :

A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}

et celle d’une combinaison correspondant :

C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}

Comme ça c’est fait.

Au passage, A_n^k=C_n^k \times k!.

Pas de panique, un petit exemple pour se remettre ça en tête. A commencer par le point d’exclamation. C’est une écriture très pratique pour s’éviter l’écriture de longs calculs.

n! remplace le produit de tous les nombres entiers de 1 jusqu’à n. Par exemple 5!=1\times 2\times 3\times 4\times 5. Imaginez-vous écrire l’équivalent de 2018!. Même le résultat est assez long à écrire, il faudrait plus de 5500 chiffres. A raison d’un chiffre par seconde, il faudrait plus d’une heure et demie, rien que pour écrire ce résultat. On l’apprécie le point d’exclamation dans ce cas.

Voyons maintenant un petit exemple d’application. Combien peut-on former de mains de trois cartes différentes piochées parmi dix ? Si l’ordre importe ce sera un arrangement donc A_{10}^3=\dfrac{10!}{(10-3)!}=\dfrac{10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1} qu’on peut simplifier car on trouve certains nombres en commun entre le numérateur et le dénominateur.

A_{10}^3=10\times 9\times 8 =720.

Evidemment, si on ne tient pas compte de l’ordre du tirage on obtient une combinaison

C_{10}^3=\dfrac{A_{10}^3}{3!}=120.

Dans Star Realms on tire trois cartes parmi dix avec une différence importante : la répétition des  et des . On ne distingue pas une carte  d’une autre .

Quelle est dès lors la probabilité d’obtenir une main de 3  ?

En suivant le même raisonnement, on cherche le nombre de combinaisons de 3  pris parmi les 8  du deck de départ donc C_8^3=56.

Comme les cartes sont indissociables au tirage, on dit qu’il y a équiprobabilité. Dans ce cas la probabilité d’un tirage est tout simplement obtenu en faisant le rapport :

\dfrac{\text{issues favorables}}{\text{issues totales}}.

Dans le cas d’une main de 3  ça donne donc P()=\dfrac{C_8^3\times C_2^0}{120}=\dfrac{56}{120}\approx 46,67 \%.

On peut lire C_8^3\times C_2^0 comme « J’ai tiré 3  parmi les 8  possibles et aucun  parmi les 2  possibles »

De la même manière P()=\dfrac{C_8^2\times C_2^1}{120}=\dfrac{56}{120}\approx 46,67 \%.

Enfin P()=\dfrac{C_8^1\times C_2^2}{120}=\dfrac{8}{120}\approx 6,67 \%.

Conclusion, le premier joueur a autant de chance d’obtenir  que  avec environ 47 \% de chance dans les deux cas. Et dans un peu moins de 7 \% des cas une main pas terrible de . C’est rare mais ça arrive.

Il y a un phénomène psychologique intéressant qui rend ces tirages marquant. Leur rareté est étouffée par le dépit qu’elle va créer.

« J’ai encore ce tirage de merde ! ».

On est marqué par la pauvreté du tirage alors qu’on aura tendance à ne pas enregistrer tous les autres tirages acceptables. Certains joueurs sont particulièrement disposés à se laisser aller à ça. Comme ces files d’attente qui avancent plus vite que vous, etc.

La rivière de cartes

Le problème du premier joueur est double. Avec trois cartes au premier tour il n’a aucune chance d’acheter une carte à 4 . Le pire étant s’il en a une ou plusieurs sous les yeux, il sera d’autant plus frustré.

Et son second problème, s’il tire une main de , c’est d’avoir l’opportunité d’avoir une carte  à acheter. Dans le jeu de base il y a seulement 3 cartes coûtant  dans chacune des 4 factions du jeu pour un total de 80 cartes à acheter. Donc 80-12=68 cartes coûtant plus d’1 .

Quelle est la probabilité de n’avoir aucune carte  à acheter ?

Il y a C_{80}^5=24 040 016 rivières de 5 cartes possibles et parmi elles C_{68}^5=10 424 128 rivières avec uniquement des cartes coûtant plus d’1 .

Donc une probabilité de \dfrac{10 424 128}{24 040 016}\approx 43,36 \%.

Au final obtenir une main de départ  et ne rien pouvoir acheter ensuite aura une probabilité de \dfrac{8}{120} \times \dfrac{10 424 128}{24 040 016} \approx 2,89 \% environ. C’est très rare.

Qu’en est-il du second joueur ?

Lui aura une main de 5 cartes pour commencer. Dans son cas, il espère obtenir un maximum de  pour pouvoir acheter d’éventuelles très bonnes cartes et prendre un bon départ. Il sait en tout cas qu’il n’aura pas accès aux cartes coûtant 6  ou plus.

De la même manière que plus haut on obtient pour lui :

P()=\dfrac{C_8^5\times C_2^0}{C_{10}^5}=\dfrac{2}{9}\approx 22,22 \%

P()=\dfrac{C_8^4\times C_2^1}{C_{10}^5}=\dfrac{5}{9}\approx 55,55 \%

P()=\dfrac{C_8^3\times C_2^2}{C_{10}^5}=\dfrac{2}{9}\approx 22,22 \%

Ne rien pouvoir acheter avec  signifie que la rivière contient  uniquement des cartes coûtant 6  ou plus. Il y en a 17 dans le jeu de base sur 80 cartes donc C_{17}^{5}=6188 sur 24 040 016 rivières de 5 cartes possibles. Soit une probabilité de

\dfrac{6188}{24 040 016}\approx 0,03 \%.

Avec une main  on passe à 24 cartes coûtant 5  ou plus donc C_{24}^{5}=42 504 rivières de cartes coûtant 5  ou plus. Et donc une probabilité de

\dfrac{42 504}{24 040 016}\approx 0,18\%.

Et pour finir avec une main  on passe à 41 cartes coûtant 4  ou plus donc C_{41}^{5}=749 398 rivières possibles. Pour une probabilité de

\dfrac{749 398}{24 040 016}\approx 3,12\%.

Finalement, la probabilité que le second joueur ne puisse rien acheter à son tour vaut

\dfrac{2}{9}\times \dfrac{6188}{24 040 016}+\dfrac{5}{9}\times \dfrac{42 504}{24 040 016}+\dfrac{2}{9}\times \dfrac{749 398}{24 040 016}\approx 0,80 \%. C’est presque 4 fois moins que le premier joueur.

Conclusion

Pour l’instant on n’a fait que s’intéresser à des états de fait. Le joueur n’a aucun contrôle sur la main de départ qu’il tire ni sur la composition de la rivière.

La suite du jeu sera question de choix :

  • Je suis premier joueur. Est-ce que j’achète une carte au centre au risque de révéler une carte coûtant 4  ?
  • Vu les jolies 6  ou plus, est-ce que je n’achèterais pas un Prospecteur plutôt ?

Pour le second joueur se posent les mêmes questions mais lui a déjà la possibilité de réfléchir en terme de factions.

Ce sera le sujet d’un prochain article. D’ici là, bon jeu.


1. Dans un jeu de deckbuilding chaque joueur dispose d’une pioche de cartes de base. Généralement identique à celle des autres joueurs. On commence notre tour avec une main de cartes tirées de notre pioche. A notre tour on jouera l’ensemble des cartes de notre main, on appliquera leurs effets puis elles seront défaussées. Entre autre choses, on peut en acquérir de nouvelles qui rejoignent notre défausse. On pioche alors de nouvelles cartes. Quand la pioche est vide on reforme une pioche en mélangeant les cartes de notre défausse. Ainsi les cartes achetées précédemment intègrent notre main. Au fil du jeu les decks de carte se spécialisent d’un joueur à l’autre.

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